Toán hữu hạn Ví dụ

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

Bước 1

Viết $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ ở dạng một phương trình.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ .

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ cho $20000$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ cho $20000$ .

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $20000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia ${1.02}^{y}$ cho $1$ .

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

Bước 3.4

Khai triển $\ln ({1.02}^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ cho $\ln (1.02)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ cho $\ln (1.02)$ .

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (1.02)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Bước 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ có là hàm ngược của $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $P^{- 1} (P (t)) = t$ và $P (P^{- 1} (t)) = t$ không.

Bước 5.2

Tính $P^{- 1} (P (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$P^{- 1} (P (t))$

Bước 5.2.2

Tính $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ bằng cách thay giá trị của $P$ vào $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $20000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Bước 5.2.3.2

Chia ${(1.02)}^{t}$ cho $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

Bước 5.2.4

Khai triển $\ln ({(1.02)}^{t})$ bằng cách di chuyển $t$ ra bên ngoài lôgarit.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (1.02)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Bước 5.2.5.2

Chia $t$ cho $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

Bước 5.3

Tính $P (P^{- 1} (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$P (P^{- 1} (t))$

Bước 5.3.2

Tính $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ bằng cách thay giá trị của $P^{- 1}$ vào $P$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

Bước 5.3.3

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

Bước 5.3.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $20000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

Bước 5.4

Vì $P^{- 1} (P (t)) = t$ và $P (P^{- 1} (t)) = t$ , nên $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ là hàm ngược của $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$